뫼비우스의 띠와 클라인 병

인류의 역사를 돌이켜보면 고정관념을 버리면 새로운 사실을 발견할 수 있다는 걸 알 수 있다. 수학사에서도 그에 해당하는 예를 들 수 있는데, 뫼비우스의 띠와 클라인 병이 그것들이다. 독일의 수학자 뫼비우스(1790∼1868)도 아무도 생각하지도 못한 것을 생각해 냈다. 그 당시에는 유클리드 기하학이 널리 퍼져 있었는데, 모든 물체에는 안쪽이 있으면 반드시 바깥쪽이 있다고 믿고 있었다. 사람들이 안쪽과 바깥쪽을 구분해 생각했을 때, 뫼비우스는 혹시 안팎의 구분이 없는 면이 있지 않을까를 생각해 뫼비우스의 띠를 만들었다. 오늘날 방앗간이나 공장의 기계들은 벨트를 이용해 기계의 축을 돌리는데, 이 벨트가 한 번 꼬여 있는 것이 바로 뫼비우스의 띠이다. 뫼비우스의 띠대로 벨트를 만들어 기계의 축을 돌리면, 안쪽과 바깥쪽 모든 면이 연속적으로 기계에 닿게 되므로 벨트의 수명이 훨씬 길어진다.

뫼비우스의 띠는 면의 안팎 구분이 없는 것이 특징인데, 이와 비슷한 도형이 있다. 독일과 수학자 클라인(1790~1868)은 가장자리가 없어 내부와 외부가 구분되지 않는 ‘클라인 병’을 고안했다. 클라인은 밑면과 윗면이 뚫려 있는 원기둥을 만들고, 옆면을 뚫고 들어가서 밑면에 윗면을 붙여 클라인 병을 만들었다.

현대 문명 사회에서도 우리는 창조성을 요구받고 있다. 기계화된 세상에서 1차 또는 2차 산업은 기계에게 그 자리를 내주어야 하기에, 기계가 못해내는 일을 해야만 그나마 사회 시스템에서 인간(?)답게 살 수 있을지도 모른다.

독일의 수학자 뫼비우스

뫼비우스의 띠. 뫼비우스의 띠는 기다란 직사각형 종이를 한 번 비틀어 양쪽 끝을 맞붙여서 이루어지는 도형이다. 면의 안팎 구분이 없는 것이 특징이다.

                                                                  클라인 병

                                                         클라인 병의 구조.

                               가장자리가 없어 내부와 외부가 구분되지 않는 클라인 병.